Lezioni con Mathematica

In questa pagina raccolgo alcune lezioni tenute con il supporto di Mathematica e scritte nella forma del notebook, forma che permette di accompagnare alle istruzioni di questo sofisticato programma e all'output di tipo grafico, numerico o simbolico da questo generato, pure un testo di spiegazione.
Ciascuna lezione consiste in un'esposizione dell'argomento in oggetto per cui il codice che via via viene proposto è strumentale a questo obiettivo didattico e la sua comprensione non è un prerequisito allo sviluppo dell'argomento. Per tale ragione nei file PDF distribuiti sono state nascoste la quasi totalità delle istruzioni.

È evidente che per utilizzare pienamente i notebook delle lezioni, anche a livello didattico, è necessario disporre di Mathematica in una sua versione relativamente recente. Si potranno in tal caso studiare situazioni diverse da quelle proposte e sperimentare modifiche e miglioramenti al codice nonché, avviare tutte le animazioni contenute.

In alternativa si consiglia di

• prelevare il software gratuito Wolfram Player (1.3 GB) con il quale aprire i file CDF. Questo permette comunque la consultazione dei vari notebook e del codice ivi contenuto e l'avvio interattivo di gran parte delle animazioni.
• In alternativa si può prelevare una copia di valutazione di Mathematica.

La risoluzione del triangolo

Si vogliono determinare tutti gli elementi caratterizzanti un triangolo qualsiasi, angoli e lunghezze dei lati, supposto dato un loro sottoinsieme (per esempio, due lati e un angolo). Il problema, affrontato tradizionalmente in tutti i libri di testo quale applicazione dei teoremi fondamentali della trigonometria, viene qui riproposto in un notebook di Mathematica.

Nel notebook il problema viene discusso sia geometricamente, con il supporto di rappresentazioni grafiche, sia dal punto di vista algebrico (e in quest'ultimo caso sono necessarie alcune conoscenze relative alle funzioni inverse delle goniometriche). Le diverse configurazioni vengono quindi implementate come funzioni di Mathematica con l'output strutturato in forma di matrice.

Integrazione definita: le somme di Riemann

Questo notebook costituisce il testo di una lezione introduttiva all'integrazione definita dove si costruiscono, inizialmente con diverse modalità, le somme di Riemann che approssimano l'area del trapezoide di una funzione continua definita in un intervallo [a,b]. Di queste somme se ne studiano gli andamenti all'aumentare del numero n di suddivisioni dell'intervallo [a,b] sia sotto l'aspetto grafico sia su quello numerico e, principalmente, allo scopo di mostrare come queste somme, pur ottenute in modi diversi, tendano asintoticamente ad un medesimo valore. Si propone infine la definizione di integrale definito.

 

I file prodotti rappresentano il notebook nel formato originario di Mathematica (NB) oppure in quello consultabile con Wolfram Player (CDF) nonché la loro traduzione in PDF.

Introduzione alle derivate

Lo scopo didattico di questo notebook è quello di introdurre il significato geometrico di derivata in un punto di una funzione reale. Inizialmente si studiano delle funzioni in intorni di punti del loro dominio osservando come, per alcuni, all'aumentare dell'ingrandimento e quindi al diminuire dell'ampiezza dell'intervallo che li contiene, il grafico tenda ad assumere andamenti approssimativamente rettilinei. Proposta la definizione di rapporto incrementale, si affronta quindi un'analisi di carattere grafico-geometrico del comportamento delle rette secanti e successivamente si passa al calcolo numerico dei loro coefficienti angolari o rapporti incrementali. Osservata la convergenza di tali rapporti al tendere allo zero dell'incremento, si fornisce la definizione formale di derivata in un punto. Si calcolano infine formalmente le derivate delle funzioni coinvolte nelle diverse fasi come limiti del rapporto incrementale.

Definizione delle funzioni goniometriche e identità

In queste lezioni, suddivise in due notebook indipendenti, dopo aver introdotto la nozione di angolo orientato, si forniscono le definizioni delle funzioni goniometriche (seno, coseno e tangente) e le loro principali proprietà quali dominio, codominio, periodicità e grafico. Seguono poi le deduzioni delle numerose identità soddisfatte da tali funzioni e che le legano tra loro o che le associano a particolari combinazioni di angoli.

Nel primo notebook vengono utilizzate diverse animazioni sia per supportare a livello grafico la convenzione sugli angoli orientati sia per ottenere con opportune costruzioni i grafici di seno, coseno e tangente e per riconoscerne, in termini sintetici, le principali caratteristiche. In particolare si discute di:

• estensione delle ampiezze di un angolo,
• definizione delle funzioni seno, coseno e tangente,
• loro variazione e grafico,
• periodicità.

Il secondo notebook contiene le dimostrazioni delle più comuni identità goniometriche e per la deduzione di una di queste (formula di sottrazione per il coseno) si fa ancora uso di un'animazione grafica.
Volendo qui presentare un percorso deduttivo del tutto documentato che, iniziando da relazioni note le riscriva identicamente con trasformazioni di tipo algebrico, si è resa necessaria la stesura di alcune funzioni di Mathematica con particolari caratteristiche il cui codice, comunque, non è necessario alla comprensione delle numerose deduzioni.
Le formule dimostrate sono:

• identità fondamentale,
• funzioni goniometriche in termini di una di esse,
• angoli associati,
• formule di addizione e sottrazione,
• formule di duplicazione,
• formule di bisezione,
• formule parametriche razionali,
• formule di Werner e prostaferesi.

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