Il teorema di Menelao

Vengono introdotti e dimostrati i teoremi diretto e inverso di Menelao che hanno per soggetto la collinearità di tre punti e quindi si riprende, estendendolo, il teorema di Ceva sulla concorrenza di tre rette. Su questa base si giunge infine a dimostrare lo storico teorema di Pappo.

Il teorema di Menelao

Con Menelao di Alessandria (I secolo d.C.) la trigonometria greca, fondata da Ipparco e proseguita da Tolomeo, raggiunse il suo massimo sviluppo. L'unica sua opera che ci è pervenuta è in una traduzione araba, si intitola Sphaerica ed è costituita da tre libri. Nel I libro Menelao tratta della geometria sferica e vi si trova l'importante concetto di triangolo sferico, nel II discute di astronomia e nel III sviluppa la trigonometria sferica. In quest'ultimo libro Menelao dimostra diversi teoremi sui triangoli sferici basando le sue affermazioni su un corrispondente teorema della geometria piana. Il fatto è che questo teorema non viene mai dimostrato da Menelao cosicché se ne può concludere che tale teorema "piano" fosse già noto oppure che fosse stato dimostrato da Menelao in un altro scritto andato perduto. Ad ogni modo tale asserzione si indica oggi come il teorema di Menelao e fornisce, nella forma completa, una condizione necessaria e sufficiente per la collinearità di tre punti.

Teorema di Menelao (diretto)

Se i punti P, Q, R appartenenti rispettivamente ai lati (o ai loro prolungamenti) AB, BC e CA di ABC sono collineari, allora vale

AP PB · BQ QC · CR RA = -1

Per la dimostrazione del teorema è conveniente tener presente la convenzione sul segno delle misure di due segmenti paralleli: le misure dei segmenti verranno considerate concordi nel caso in cui il verso che porta da un estremo all'altro sia il medesimo per entrambi i segmenti, verranno considerate di segno negativo nel caso i versi siano opposti.
Detto ciò iniziamo la dimostrazione osservando che i punti P, Q e R sono collineari per ipotesi: le figure 1a e 1b mostrano le situazioni che si possono presentare.

figura 1a

figura 1b

Studiamo inizialmente la prima. Tracciata la retta CD parallela ad AB risulta, come conseguenza del teorema di Talete, DCQPBQ e quindi

dalla quale si ha

Per lo stesso motivo, si ha RAPRCD con

Uguagliando la (1) con la (2) si giunge alla

e quindi

Riordinando i termini in modo da associare il punto al corrispondente lato del triangolo e considerando la convenzione sul segno l'espressione sopra si può riscrivere come

dove il segno negativo emerge in quanto si sono sostituite le BP = - PB, CQ = - QC, RC = - CR.

Nella situazione di fig. 1b, la (1) rimane inalterata mentre la (2) si modifica in

che assieme alla (1) fornisce

Con le sostituzioni BP = - PB, CQ = - QC si ottiene ancora l'espressione

che ci permette di dimostrare definitivamente la tesi.

Dimostrazione 2. Forniamo di questo importante teorema una dimostrazione alternativa alla precedente. Dai tre vertici di ABC tracciamo le perpendicolari alla retta di appartenenza di P, Q, R e siano L, M e N le intersezioni delle perpendicolari per A, B e C: trattiamo per prima la situazione di figura 2a.

figura 2a

figura 2b

Le similitudini indicate di seguito e le conseguenti proporzioni sono immediate:

BMPALP		AP BP	=	AL BM		(1)
NCRLAR		CR AR	=	CN AL		(2)
MQBNQC		BQ CQ	=	BM CN		(3)

Moltiplicando ordinatamente tra di loro i membri delle tre espressioni si ha

in quanto a secondo membro i termini si semplificano vicendevolmente. Associando ancora una volta il punto al lato del triangolo al quale appartiene e, tenendo presente la convenzione sul segno, si ha

che si riduce infine all'espressione già nota. Nel caso della fig. 2b si giunge ancora alle

che implicano

Sostituendo CQ = - QC si ottiene anche questa volta la tesi.

Teorema inverso

Non ci rimane che dimostrare l'inverso ossia il

Teorema di Menelao (inverso)

Se i punti P, Q, R appartenenti rispettivamente ai lati (o ai loro prolungamenti) AB, BC e CA di ABC soddisfano alla

AP PB · BQ QC · CR RA = -1

allora sono collineari.

La dimostrazione risulta relativamente facile supponendo, contro la tesi, che la retta per P e Q (figg. 1a e 1b) intersechi il lato AC nel punto R' distinto da R. In tal caso P, Q e R' sono allineati e quindi applicando il teorema diretto si ha

che, confrontata con l'ipotesi

implica

Ma quest'ultima significa che R' = R contro l'ipotesi di partenza e pertanto P, Q e R devono essere collineari. In definitiva possiamo enunciare il teorema completo

Teorema di Menelao

I punti P, Q, R appartenenti rispettivamente ai lati (o ai loro prolungamenti) AB, BC e CA di ABC sono collineari, se e solo se vale

AP PB · BQ QC · CR RA = -1

Osserviamo infine la stretta somiglianza tra le espressioni a primo membro delle relazioni dimostrate per i teoremi di Ceva e Menelao. In effetti i due teoremi rivestono ruoli complementari: il teorema di Ceva fornisce un criterio per la concorrenza in un punto di tre rette mentre il teorema di Menelao fornisce un criterio per la collinearità di tre punti cioè per l'appartenenza di questi ad una medesima retta.

"Ceva" rivisitato

Data la generalità del teorema di Menelao conviene analizzare esplicitamente la possibilità di estendere pure il teorema di Ceva a punti appartenenti ai prolungamenti dei lati del triangolo (e non solo ai lati come restrittivamente supposto nella pagina ad esso dedicata). In riferimento quindi alla successiva figura 3 si mostra necessario riprendere, della dimostrazione già data del teorema di Ceva, solo la seconda delle tre relazioni coinvolgenti le aree dei triangoli (1), (2) e (3), in quanto (1) e (3) rimangono le medesime anche nella nuova situazione di figura 3. La (2) va leggermente modificata solo in un passaggio intermedio come mostrato di seguito

ma il risultato finale comunque non varia. Si tratta perciò solo di riconsiderare l'espressione finale cui si giunge

e controllare la sua coerenza alla luce della convenzione sul segno dei segmenti.

In effetti, sulla base di fig. 3, risultano negativi i rapporti

mentre è CR / RA >0. Il prodotto risulta pertanto ancora positivo e ciò è sufficiente per estendere la validità della relazione anche a ceviani aventi un estremo appartenente ai prolungamenti dei lati: ovviamente in coerenza con la convenzione stabilita sul segno delle coppie di segmenti.

Recuperata la corretta generalità, presentiamo una sintetica ed "elegante" dimostrazione del teorema (diretto) di Ceva, dimostrazione che fa uso del teorema di Menelao. Siccome quest'ultimo tratta della collinearità di tre punti, in riferimento alla fig. 3 (lo stesso vale se ci riferissimo alla fig. 1 nella pagina originaria: per "ritrovarla" muovere eventualmente il punto P) possiamo riconoscere che i lati del ABQ vengono tagliati dalla trasversale per C, S e P. Applichiamo quindi il teorema di Menelao considerando che PAB, CBQ e SQA cosicché abbiamo

D'altra parte possiamo pure riconoscere la trasversale per S, B, R relativamente a AQC: in particolare SAQ, BQC e RCA. Il teorema di Menelao fornisce ancora

Ora, moltiplichiamo la (1) con la (2)

Semplificando il termine BC e considerando che

si può riscrivere

che rappresenta la tesi del teorema di Ceva applicato a ABC.

Problemi

Problema 9.1. Dimostrare che le bisettrici di due angoli di un triangolo scaleno e la bisettrice dell'angolo esterno del terzo angolo, intersecano i lati (o i loro prolungamenti) in tre punti collineari.

Dimostrazione. Costruite le bisettrici BQ di B, CR di C e quella esterna di A (fig. 4), alle prime due possiamo applicare il teorema della bisettrice ottenendo le proporzioni

Per la bisettrice esterna AP vale invece il teorema corrispondente che esprime il rapporto tra le distanze del punto di intersezione P con B e C. La sua applicazione porta alla ulteriore proporzione

Moltiplicando i primi membri delle tre proporzioni si ha

Riportando l'espressione precedente nell'ambito della convenzione sul segno per i segmenti paralleli questa si modifica in

I punti Q, P, R soddisfano quindi alla condizione contenuta nel teorema di Menelao e pertanto essi risultano collineari (c.v.d.).

Problema 9.2. Dimostrare che le bisettrici degli angoli esterni di un triangolo scaleno si intersecano con i lati opposti in tre punti collineari.
Dimostrazione

Problema 9.3. In un quadrilatero ABCD, i lati AB e CD si intersecano in P mentre AD e BC si intersecano in Q. Le diagonali AC e BD intersecano la retta PQ rispettivamente in R e S. Dimostrare che vale

Dimostrazione

Problema 9.4. Siano M e N le intersezioni di una retta passante per il baricentro G di ABC rispettivamente con i lati AB e AC. Dimostrare che vale

Dimostrazione

Il teorema di Pappo

L'ultima figura significativa della matematica greca, Pappo di Alessandria, vissuto verso la fine del III secolo d.C., scrisse un'opera in otto libri dal titolo Collezione matematica e nella quale riporta ed estende teoremi di altri autori ma pure fornisce contributi originali. In particolare nel libro VII vi è una proposizione, ancor oggi chiamata teorema di Pappo che, per alcuni matematici, risulta essere uno dei teoremi più importanti della geometria piana: di certo questo teorema ha avuto un ruolo importante nella nascita di una nuova geometria, la geometria proiettiva. Lo possiamo enunciare nel modo seguente:

Teorema di Pappo

Siano A, B, C, tre punti di una retta e A₁, B₁, C₁ tre punti di un'altra retta (in qualsiasi ordine). Se

AB1A1B

=

C2

AC1A1C

=

B2

BC1B1C

=

A2

allora A₂, B₂, C₂ sono collineari.

Dato che si tratta di dimostrare una collinearità va evidentemente utilizzato il teorema di Menelao. Anzi la dimostrazione consiste essenzialmente nell'applicazione ripetuta di tale teorema ad un triangolo della costruzione tagliato da tutte le trasversali che non coincidano con i suoi lati (fig.5).

Definiti pertanto gli ulteriori punti

AC1A1B

=

P

A1BB1C

=

Q

AC1B1C

=

R

possiamo applicare ripetutamente il teorema di Menelao a

PQR tagliato dalla trasversale per C2, A, B1		RA  AP	·	PC2 C2Q	·	QB1 B1R	=	-1		(1)
PQR tagliato dalla trasversale per A1, B2, C		PA1 A1Q	·	QC  CR	·	RB2 B2P	=	-1		(2)
PQR tagliato dalla trasversale per B, A2, C1		PB  BQ	·	QA2 A2R	·	RC1 C1P	=	-1		(3)

Moltiplicando ordinatamente i primi membri e i secondi si ottiene

D'altra parte pure i punti A, B, C, sono allineati e quindi costituiscono una trasversale per PQR, così come A₁, B₁, C₁. Pertanto possiamo aggiungere le ulteriori due relazioni

PQR tagliato dalla trasversale per A, B, C		PB BQ	·	QC CR	·	RA AP	=	-1		(5)
PQR tagliato dalla trasversale per A1, B1, C1		PA1 A1Q	·	QB1 B1R	·	RC1 C1P	=	-1		(6)

Queste ultime permettono di semplificare sensibilmente la (4) nella

che permette di riconoscere, ancora in base al teorema di Menelao, la collinearità dei tre punti A₂, B₂, C₂ c.v.d.