Il teorema di Feuerbach

Iniziamo con una verifica sperimentale della tesi del teorema di Feuerbach per poi strutturare un percorso, non breve, che ci porterà attraverso la ricerca delle distanze tra i principali punti notevoli di un triangolo, ad una dimostrazione puramente trigonometrica del teorema stesso.

Verifica del teorema di Feuerbach

Riprendiamo alcune nozioni già affrontate in pagine precedenti allo scopo di presentare, per ora dal punto di vista della sola simulazione dinamica, le reciproche connessioni tra il cerchio inscritto e quelli ex-inscritti ad un triangolo con il cerchio dei nove punti che si associa al medesimo.

Consideriamo quindi un ABC. I due cerchi più conosciuti che si possono associare ad esso sono ovviamente il cerchio inscritto e quello circoscritto. Se consideriamo i prolungamenti dei lati, possiamo riconoscere i tre cerchi ex-inscritti, ciascuno dei quali risulta tangente ad un lato e ai prolungamenti degli altri due. Un sesto cerchio connesso al ABC è quello dei nove punti. Quest'ultimo, lo ricordiamo, passa per i piedi delle tre altezze del triangolo, i punti medi dei tre lati e i punti medi dei segmenti che congiungono i tre vertici all'ortocentro. In figura 1 appaiono tracciati il cerchio inscritto con incentro I, i tre cerchi ex-inscritti di centri E₁, E₂, E₃ ed infine il cerchio dei nove punti avente per centro il punto medio N del segmento che collega l'ortocentro con il circocentro.

Nella figura sono evidenziati pure il piede H dell'altezza relativa al lato AB e i punti di contatto R e R₁ rispettivamente, del cerchio inscritto e del cerchio ex-inscritto al lato BC, con la retta AB. In tale situazione quindi, IR rappresenta il raggio del cerchio inscritto, NH il raggio del cerchio dei nove punti e E₁R₁ il raggio del cerchio ex-inscritto al lato BC.

Se ora trasciniamo un qualsiasi vertice del triangolo possiamo rilevare una proprietà decisamente interessante: il cerchio iscritto appare, almeno visivamente, sempre tangente internamente al cerchio dei nove punti e quest'ultimo a sua volta, risulta tangente esternamente a tutti e tre i cerchi ex-inscritti. Per verificare questa osservazione anche a livello numerico nella medesima figura calcoliamo indipendentemente la lunghezza di IN e la differenza tra il raggio NH del cerchio dei nove punti con quello del cerchio inscritto IR. Nello stesso modo confrontiamo numericamente la lunghezza del segmento NE₁ con la somma dei raggi del cerchio dei nove punti e del cerchio ex-inscritto di centro E₁ (E₁R₁). Ancora una volta, qualsiasi configurazione si esplori dinamicamente muovendo i vertici di ABC constatiamo che pur cambiando le lunghezze dei singoli segmenti coinvolti, risultano sempre soddisfatte le uguaglianze

Lo stesso avviene per gli altri due cerchi ex-inscritti. Il teorema che codifica formalmente tale proprietà viene attribuito all'insegnante tedesco Karl Wilhelm Feuerbach che ne pubblicò la dimostrazione nel 1822. Il suo enunciato è

Teorema di Feuerbach

Il cerchio inscritto è tangente internamente al cerchio dei nove punti e questo è tangente esternamente ai tre cerchi ex-inscritti.

La figura successiva mette in evidenza i punti di contatto tra tutti i cerchi coinvolti nel teorema: questi quattro punti vengono detti punti di Feuerbach di ABC.

In conclusione, il teorema di Feuerbach permette di associare ad un triangolo altri quattro punti tutti appartenenti al cerchio dei nove punti: è per questo motivo che tale cerchio viene anche detto cerchio di Feuerbach.

Raggi dei principali cerchi associati ad un triangolo

Come primo passo verso la dimostrazione del teorema di Feuerbach esprimiamo i raggi dei principali cerchi associati ad un triangolo in funzione dei lati e degli angoli di questo. La figura 3 mostra quindi il cerchio inscritto e circoscritto e i tre cerchi ex-inscritti. I rispettivi centri sono indicati dalle lettere I, S e, per il cerchio ex-inscritto tangente al lato BC, il centro è E₁ (analogamente per gli altri due). Vedremo come, in tale contesto, sarà conveniente esprimere le relazioni in termini del raggio del cerchio circoscritto r_c = AS = BS = CS.

Quest'ultimo discende immediatamente dal teorema dei seni applicato a ABC

2 rc	=	BC sen CAB	=	CA sen ABC	=	AB sen BCA
2 rc	=	a sen α	=	b sen β	=	c sen γ	.		(3)

Per ottenere il raggio IR = r del cerchio inscritto ricordiamo innanzitutto che l'incentro I appartiene alle bisettrici degli angoli di ABC. Allora detto R il punto di tangenza tra circonferenza inscritta e lato AB (fig. 4), IAR e IBR sono entrambi rettangoli in R con IAR = 1/2 CAB e IBR = 1/2 CBA.

Ne segue che per la definizione di tangente possiamo scrivere

tg IAR

=

IR AR

tg IBR

=

IR BR

dalle quali, con l'usuale significato per gli angoli, otteniamo

Il lato AB = c si esprime quindi come

per cui, fattorizzato r abbiamo

Esprimendo le tangenti in termini di seno e coseno ed eseguito il minimo comun denominatore si ha

dove, nell'ultimo passaggio, abbiamo applicato la formula di addizione del seno. Infine, dato che α + β + γ = 180° risulta

cosicché

che permette di ottenere l'espressione cercata

Volendo introdurre il raggio r_c del cerchio circoscritto, dalla (3) risulta c = 2 r_c sen γ e per la formula di duplicazione del seno

per cui la forma definitiva è

manifestamente invariante per permutazioni degli angoli del triangolo e quindi indipendente dal lato scelto per dedurla.

Un procedimento analogo ci permette di dedurre i raggi dei cerchi ex-inscritti. Difatti, detto T₁ il punto di contatto del cerchio ex-inscritto al lato BC di centro E₁, il triangolo E₁CB può considerarsi suddiviso dall'altezza E₁T₁ in due triangoli rettangoli (fig. 5)

Ricordato che BE₁ e CE₁ sono le bisettrici degli angoli esterni rispettivamente a B e C, il lato BC si esprime come

per cui posto E₁T₁ = r₁ abbiamo

a

=

r1 tg E1BT1

+

r1 tg E1CT1

e dato che

tg E1BT1	=	tg	180° - β 2	=	tg (90° - β/2)	=	cotg β/2	=	cos β/2 sen β/2
tg E1CT1	=	tg	180° - γ 2	=	tg (90° - γ/2)	=	cotg γ/2	=	cos γ/2 sen γ/2

risulta

Ripercorrendo i medesimi passaggi svolti per il raggio del cerchio inscritto otteniamo

ma (β + γ)/2 = (180° - α)/2 = 90° - α/2

Sostituita la lunghezza a fornita dalla relazione (3), a = 2 r_c sen α = 4 r_c sen α/2 cos α/2 otteniamo

e in definitiva

Per i rimanenti due cerchi ex-inscritti si deducono espressioni analoghe con l'opportuna permutazione dei simboli. Ricordato che il cerchio dei nove punti possiede un raggio pari alla metà di quello circoscritto, riportiamo per comodità tutte queste informazioni nella tabella sottostante (e con la simbologia delle figg. 1 e 3).

Distanze di alcuni punti notevoli di un triangolo da un vertice

In questa sezione intendiamo determinare le distanze di alcuni dei principali punti di un triangolo da uno qualsiasi dei vertici al fine di dedurre, nella successiva sezione, le reciproche distanze. A tale scopo ci riferiremo alla fig. 6 dove sono riportati il circocentro S, il baricentro G, l'ortocentro O, il centro del cerchio dei nove punti N e punto medio di OS (questi quattro punti appartenenti alla linea di Eulero), l'incentro I e il centro E₁ del cerchio ex-inscritto a BC. Troveremo le distanze di alcuni di questi punti dal vertice A.

Come dimostrato discutendo della linea di Eulero, poiché AO = 2 PS con P punto medio di BC (fig. 7), per ottenere la lunghezza di AO è sufficiente determinare PS. Notato quindi che CSB = 2CAB = 2 α essendo il primo un angolo al centro e il secondo un angolo alla circonferenza che insiste sul medesimo arco, discende che BSP = α per cui PS = BS cos α = r_c cos α. È pertanto AO = 2 r_c cos α.

Per determinare la distanza dell'incentro dal vertice A notiamo che, detto R il punto di tangenza del cerchio inscritto con AB (fig. 8) per definizione di seno risulta

IR AI

=

sen IAR

=

sen

α 2

.

Questa, assieme alla relazione dedotta nella sezione precedente e che fornisce il raggio del cerchio inscritto, permette di giungere alla

Nello stesso modo giungiamo a determinare la distanza da A del centro del cerchio ex-inscritto (fig. 8) sempre utilizzando quanto dedotto in precedenza:

Per quanto seguirà è opportuno schematizzare quanto ottenuto in questa sezione nella tavola seguente:

Distanze tra alcuni punti notevoli di un triangolo

Note le distanze dei punti S, O, I ed E₁ dal vertice A potremo, con l'applicazione ripetuta del teorema del coseno, dedurre le loro distanze relative non appena siano noti gli angoli IAS e OAI rispettivamente di IAS e OAI (fig. 9).

Poiché verranno frequentemente usate alcune identità goniometriche, raggruppiamo le forme che ci serviranno (o che ci son servite) nella tabella seguente sottolineando che gli angoli coinvolti rappresentano un qualsiasi valore reale.

In base quindi alla fig. 9 osserviamo che possiamo esprimere IAS come IAS = IAB - SAB ma, dato che IA è bisettrice di CAB = α e ASB è angolo al centro che insiste sullo stesso arco di circonferenza di ACB e SAB è isoscele, risulta

IAS

=

IAB - SAB

=

α 2

-

(180° - ASB) 2

=

α 2

-

(180° - 2 γ) 2

.

Dato che α + β + γ = 180° si giunge con qualche breve passaggio

IAS

=

α - 180° + 2 γ 2

=

(α + γ) - 180° + γ 2

=

(180° - β) - 180° + γ 2

=

γ - β 2

.

Se accettiamo valori negativi per l'ampiezza degli angoli, tale risultato rimane valido per qualsiasi triangolo: ad ogni modo, come vedremo, questa ampiezza apparirà ad argomento di un coseno così il suo segno non influirà sulle relazioni che dedurremo.

Per OAI risulta

OAI

=

IAC - HAC

=

α 2

-

(90° - ACB)

=

α 2

-

(90° - γ)

=

α - 180° + 2 γ 2

in quanto AHC è rettangolo: per confronto con la precedente deduciamo quindi

OAI

=

γ - β 2

=

IAS.

Lunghezza di IS. Dopo aver incidentalmente notato come la bisettrice AI bisechi pure SAO, applichiamo il teorema di Carnot a IAS inserendo i risultati già ottenuti per le distanze da A:

IS2	=	AS2 + AI2 - 2 AS AI cosIAS	=	(rc)2 + (4 rc sen β/2 sen γ/2)2 - 2 rc (4 rc sen β/2 sen γ/2) cos (γ - β)/2
			=	(rc)2 [1 + 16 sen2 β/2 sen2 γ/2 -  8 sen β/2 sen γ/2 cos (γ - β)/2]
			=	(rc)2 {1 + 8 sen β/2 sen γ/2 [2 sen β/2 sen γ/2 -  cos (γ - β)/2]}.

Esplicitando nel termine tra parentesi quadre il coseno della differenza e sfruttando la corrispondente identità per la somma, abbiamo

e poiché

otteniamo

espressione che conferma quanto ci si poteva aspettare. Difatti riscritta come

in base all'espressione del raggio del cerchio inscritto, diviene

che coincide con la formula di Eulero già dimostrata.

Lunghezza di SE₁. Nello stesso modo, l'applicazione del teorema del coseno a ASE₁ (fig. 9) permette di ottenere SE₁. Difatti riprendendo l'espressione di AE₁ ed eseguendo le medesime operazioni (E₁AS = IAS) abbiamo

(SE1)2	=	AS2 + (AE1)2 - 2 AS AE1 cosIAS	=	(rc)2 + (4 rc cos β/2 cos γ/2)2 - 2 rc (4 rc cos β/2 cos γ/2) cos (γ - β)/2
			=	(rc)2 [1 + 16 cos2 β/2 cos2 γ/2 -  8 cos β/2 cos γ/2 cos (γ - β)/2]
			=	(rc)2 {1 + 8 cos β/2 cos γ/2 [2 cos β/2 cos γ/2 -  cos (γ - β)/2]}.

Trattando solo il termine tra parentesi quadre

giungiamo alla

che, per analogia alla formula di Eulero e data l'espressione del raggio del cerchio ex-inscritto, si può riscrivere

Lunghezza di OS. La lunghezza della linea (segmento) di Eulero OS si deduce ancora con il teorema del coseno applicato a ASO (fig. 9). Per quanto visto, risulta

OS2	=	AS2 + AO2 - 2 AS AO cos SAO
	=	(rc)2 + (2 rc cos α)2 - 2 rc (2 rc cos α) cos (γ - β)
	=	(rc)2 [1 + 4 cos2 α - 4 cos α cos (γ - β)]
	=	(rc)2 {1 + 4 cos α [ cos α -  cos (γ - β) ] }.

Per mezzo delle formula di prostaferesi il termine entro parentesi quadre diviene

ma dato che

si riscrive

per cui in definitiva

indipendente dal vertice A utilizzato per ottenerla.

Lunghezza di IO. Passiamo alla distanza dell'incentro I dall'ortocentro O. Di OAI (fig. 9) conosciamo AO e AI e l'angolo compreso per cui

IO2	=	AO2 + AI2 - 2 AO AI cosOAI
	=	(2 rc cos α)2 + (4 rc sen β/2 sen γ/2)2 - 2 (2 rc cos α)(4 rc sen β/2 sen γ/2) cos (γ - β)/2
	=	4 (rc)2 [cos2 α + 4 sen2 β/2 sen2 γ/2 - 4 cos α sen β/2 sen γ/2 cos (γ - β)/2].

Utilizziamo la formula di bisezione per il seno e di sottrazione per il coseno per ridurre il termine tra parentesi quadre

per la formula di duplicazione e le già ricordate di bisezione abbiamo

Poiché α = 180° - (β + γ) il termine a secondo membro (cos α - sen β sen γ) si riscrive

cosicché ripresa la relazione iniziale abbiamo

del tutto invariante per permutazioni cicliche degli angoli. Se riutilizziamo le formule di bisezione possiamo esprimere i fattori del tipo (1 - cos α) in funzione del seno per cui

e quindi tenuto conto del raggio del cerchio inscritto giungiamo alla

Lunghezza di OE₁. L'applicazione del teorema del coseno a OAE₁ (fig. 9) ci permette di conoscere pure OE₁. Difatti noti AO e AE₁ e l'angolo tra essi E₁AO = OAI vale la

(OE1)2	=	AO2 + (AE1)2 - 2 AO AE1 cosIAO
	=	(2 rc cos α)2 + (4 rc cos β/2 cos γ/2)2 - 2 (2 rc cos α)(4 rc cos β/2 cos γ/2) cos (γ - β)/2
	=	4 (rc)2 [ cos2 α + 4 cos2 β/2 cos2 γ/2 - 4 cos α cos β/2 cos γ/2 cos (γ - β)/2 ].

Trattando il solo termine tra parentesi quadre con le formule di bisezione e sottrazione

e quindi con la formula di duplicazione

Possiamo ora riprendere l'identità ottenuta nel punto precedente e quindi sostituire

ottenendo per OE₁

Riutilizzando le formule di bisezione per il seno e coseno l'ultima espressione si riscrive

e ricordando quanto dedotto per il raggio del cerchio ex-inscritto, abbiamo in definitiva

molto simile a quella ottenuta per IO.

Lunghezza di IN. Conosciamo ora tutti e tre i lati di IOS (fig. 9). Per determinare la lunghezza del segmento IN va ricordato che il centro N del cerchio dei nove punti è anche il punto medio della linea (segmento) di Eulero cioè di OS. Si tratta quindi di determinare la lunghezza di una mediana date le lunghezze dei lati di un triangolo, problema già affrontato in diverse occasioni (problema 1.3, problema 12.7) e che, in tal caso si traduce nella relazione

Introdotte le espressioni per IS (nella forma di Eulero), IO e OS dimostrate in questa sezione, risulta

Giungiamo pertanto al sorprendentemente semplice risultato

Lunghezza di NE₁. Per quanto ricordato circa N, il segmento NE₁ costituisce la mediana al lato OS di OSE₁ (fig. 9). Per determinarne la lunghezza possiamo procedere come per IN salvo coinvolgere i lati SE₁ e OE₁. Sfruttiamo pertanto l'espressione che fornisce la lunghezza della mediana in funzione dei lati (problema 1.3, problema 12.7)

e sostituiamo le espressioni via via trovate per SE₁, OE₁, OS e date in termini del raggio del cerchio ex-inscritto

Questo risultato mette in evidenza come, in conclusione, debba essere

Dimostrazione del teorema di Feuerbach

I risultati appena ottenuti forniscono la dimostrazione cercata del teorema di Feuerbach e studiata numericamente all'inizio di questa pagina. Difatti, poiché 1/2 r_c è il raggio del cerchio dei nove punti, cerchio che ha centro in N, la relazione

mette in evidenza come la distanza tra i centri del cerchio dei nove punti e quello inscritto sia pari alla differenza dei rispettivi raggi. Ne segue che il cerchio inscritto dev'essere tangente internamente a quello dei nove punti.

Allo stesso modo, la distanza tra il centro del cerchio dei nove punti ed il centro di uno qualsiasi dei tre cerchi ex-iscritti risulta

questa volta pari alla somma dei rispettivi raggi. Questi cerchi sono pertanto tangenti esternamente uno rispetto all'altro.