Castel del Monte: aspetti multidisciplinari e occasioni didattiche

Castel del Monte in Puglia è senza dubbio tra le architetture castellari del Medioevo un monumento singolare e unico. La sua struttura muraria ottagonale su cui si innestano le otto torri, a loro volta ottagonali, assieme all'intero apparato decorativo lo hanno fatto assurgere a simbolo del disegno politico e culturale di Federico II di Svevia. Per la sua peculiarità ha rappresentato un sicuro polo di interesse per architetti e storici dell'arte, centro di attrazione che continua ancor oggi quale patrimonio mondiale UNESCO.

La richiesta, formulata dall'arch. Federico Lardera dello studio di architettura larderArch di Roma nel giugno del 2020 e cioè di determinare l'ottagono regolare che più si avvicina ad una poligonale di otto vertici che, dell'ottagono, intende essere una concreta realizzazione, costituisce l'inizio di una proficua collaborazione multidisciplinare che ha prodotto significativi risultati principalmente nell'ambito dell'architettura del castello ma che, nel contempo, ha pure dato lo spunto per inaspettate occasioni di carattere didattico.

Un abstract di tale lavoro dal titolo Il teorema matematico di Castel del Monte (The mathematical Theorem of Castel del Monte), preliminare ad una più ampia pubblicazione, è prelevabile dal sito Academia.edu e anticipa in sintesi i principali risultati architettonici ottenuti in questo studio qualificabile, per le tecniche matematiche di regressione impiegate, come una nuova metodologia di analisi dei monumenti definita come "reverse architecture".
In questa pagina intendiamo solo accennare alle principali nozioni coinvolte nella ricerca e agli sviluppi didattici che da essa hanno origine: una loro più estesa trattazione e sistemazione comparirà nella già accennata pubblicazione.

Principali nozioni matematiche coinvolte

Disponendo di una completa digitalizzazione del castello, la principale tecnica matematica applicata è l'analisi di regressione nelle sue declinazioni lineare e non lineare. Questa tecnica, associata al metodo dei minimi quadrati, fornisce tramite algoritmi di calcolo (per la loro applicazione ci si è basati sul software Mathematica) la stima dei parametri caratterizzanti un modello matematico scelto come riferimento (quale potrebbe essere un certo insieme di punti, una linea, un piano, una superficie...) e quindi permette di ricondurre la normale variabilità dei dati ottenuti dal rilievo del castello ai classici enti geometrici dell'architettura quali superfici piane e non, linee e punti.

Quale soluzione del quesito iniziale nell'individuare gli ottagoni insiti nella struttura del castello si è dimostrata fondamentale l'applicazione di una regressione circolare seguita da un'ulteriore minimizzazione delle distanze tra i punti del rilievo e vertici teorici: e ciò ha dato origine ad una inedita ed estesa analisi geometrico-compositiva della probabile pianta dell'intero edificio.

A supporto di questa analisi i diversi elementi fondamentali del castello quali muratura, corte, basamenti, torri e vani sono stati analizzati sotto il profilo statistico studiandone la distribuzione delle misure e, con il calcolo dei loro valori medi e scarti, si è stati in grado di verificarne le mutua compatibilità o, al contrario, le loro difformità. Tutto ciò ha permesso di definire a posteriori un modello numerico della pianta del castello, modello dal quale estrarre ulteriori informazioni di carattere architettonico e dal quale partire per ipotizzare coerenti modelli geometrici.

Per la definizione di questi ultimi, tutti costruibili con riga e compasso, si sono utilizzate le nozioni elementari di geometria euclidea sintetizzandone le principali caratteristiche in termini di equazioni trigonometriche. Le formule che descrivono l'ottagono e i poligoni che da esso si possono derivare in termini di angoli, lati, e raggi (inscritto e circoscritto), costituiscono invece una prima appendice didattica.

Una seconda appendice intende invece chiarire con l'ausilio di diagrammi di flusso le principali procedure matematiche applicate mentre un particolare modello geometrico che presuppone corone di circonferenze tangenti fornisce lo spunto iniziale per un più ampio approfondimento didattico. Questo sviluppo parte dallo storico teorema di Pappo sulle circonferenze tangenti interne all'arbelo, passa alla trattazione del porisma di Steiner per giungere infine ad uno specifico impacchettamento di cerchi introdotto alla fine degli anni ottanta del secolo scorso da P. Doyle e indicato come le spirali di Doyle (figura). Conclude questa appendice un'incursione sui frattali nella quale viene applicato ricorsivamente l'algoritmo costruttivo di Castel del Monte ottenendone una sua estensione frattale.

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